Anasayfa Bloglar Fibonacci Dizisi Nedir? Kuralı Nedir, Nasıl Bulunur?

Fibonacci Dizisi Nedir? Kuralı Nedir, Nasıl Bulunur?

Araştırma
7 Dakika Okuma Süresi · 23.01.2025
Blog Small Image

Doğada sürekli gördüğümüz sayılar var. Örneğin, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377. Bunlar hep beraber Fibonacci dizisi olarak adlandırılıyor. 

Belki bu örüntüyü biliyorsundur. Birinci ile ikincinin toplamı, üçüncü sayıyı verir ve bu şekilde devam eder. Yani, her yeni sayı, kendisinden önceki iki sayının toplamı olarak ortaya çıkar.

Fibonacci dizisi, her sayının kendisinden önceki iki sayının toplamı olduğu sayı dizisidir. İlk iki terimi 0 ve 1'dir. Bu dizinin terimleri Fibonacci sayıları olarak bilinir.

Matematiksel olarak bunu şu şekilde ifade edebiliriz:

xn= xn-1 + xn-2

Fibonacci dizisi, matematiksel bir dizinin ötesinde, doğada 🌻 ve sanatta 🖼️ da sıkça karşılaşılan bir örüntüdür. Örnek olarak bir deniz salyangozunun mükemmel sarmal şeklini ya da bir kasırganın girdabını verebiliriz.

Fibonacci dizisi çiçeklerin yaprak sayısı, çam kozalaklarının dizilişi, bazı hayvanların kabukları ve galaksilerin sarmal desenleriyle de ilişkilendirilebilir.

Ayçiçeği tohumları, yapraklar, dallar ve taç yapraklar sarmal şeklinde büyür. Neden? Çünkü bu şekilde yeni yapraklar, daha eski yaprakların güneş ışığını engellemez ya da maksimum miktarda yağmur ya da çiğ, köklere doğru yönlendirilmiş olur.

Aslında, bir bitkideki sarmal dönüş, genellikle ardışık (biri diğerinden sonra gelen) iki Fibonacci sayısının oranı şeklindedir. Örneğin:

  • Bir yarım dönüş 1/2'dir (1 ve 2 Fibonacci sayılarıdır),
  • 3/5 oranı da yaygındır (her ikisi de Fibonacci sayılarıdır),
  • 5/8 oranı da ve bunlar hepsi altın orana gittikçe daha yakınlaşır.

İşte bu yüzden Fibonacci sayıları bitkilerde çok yaygındır. 

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... vb. sayılar, pek çok yerde şaşırtıcı bir şekilde karşımıza çıkar.

İşte 21 taç yaprağına sahip bir papatya. 👇🌼 Tabii ki biraz daha fazla ya da az olabilir, çünkü bazıları dökülmüş olabilir ya da henüz büyüyor da olabilirler.

Fibonacci dizisiyle ilgili matematiksel fikirler, M.Ö. 600 ile 800 yılları arasına antik Sanskrit metinlerine kadar gider. Ancak modern zamanlarda, bu diziyi bilgisayar biliminden, ayçiçeği tohumlarına kadar pek çok konuyla ilişkilendirdik.

 

Fibonacci Sayı Dizisi Nasıl Ortaya Çıkmıştır?

Bilinmesi gereken ilk şey, bu dizinin aslında Fibonacci'ye ait olmadığıdır. Aslında, kendisi hiç "Fibonacci" adıyla anılmamıştır. 

Stanford Üniversitesi'nden matematikçi Keith Devlin 19. yüzyılda tarihçilerin, bu matematikçiyi diğer ünlü bir Pisa'lı Leonardo'dan ayırmak için "Fibonacci" lakabını koymuş olduğunu söylüyor.

Bu dizi ilk önce 1300 yıl önce, Hindistan’daki bir matematikçi tarafından keşfedildi. 

Batıya 1202 yılında İtalyan matematikçi Leonardo of Pisa yani nam-ı diğer Fibonacci tarafından tanıtıldı. Ayrıca kendisi Arapça sayıları Avrupa'ya tanıtan ilk kişidir (ve evet bunu yapmamış olsaydı Avrupa’da hala roma rakamları kullanılıyor olabilirdi.)

Leonardo Fibonacci 1202'de yayımladığı "Liber Abaci" adlı eserinde bu diziyi tanıttı, ancak matematiksel örüntüyü keşfeden ilk kişi değildi. Bu eser hesaplama yapmayı gösteriyor, kar-zarar takibi ve kalan borç bakiyeleri gibi işlerde kullanılacak aritmetiği detaylandırıyordu.

Hatta Leonardo Pisa, tavşanlarla ilgili bir problem üzerinden diziyi tanıttı. Problem şöyleydi: Tek bir tavşan çifti bir yılda kaç çift tavşan üretebilir? 

Bir düşünün. İlk önce bir erkek ve bir dişi tavşanla başlayın. Bir ay sonra, olgunlaşıp bir çift tavşan daha doğururlar. Bir ay sonra, bu tavşanlar da üremeye başlar ve bir erkek ve bir dişi daha doğar. Peki bir yıl sonra, kaç tavşanınız olur?

İşte o zaman matematiksel denklem devreye girer. Kulağa karmaşık gelse de oldukça basittir.

Bahsedilen bu tavşanların üremesiyle ilgili birkaç kısa paragraf daha dışında, Leonardo Pisa diziden bir daha hiç bahsetmemiştir. 

 

Fibonacci Dizisi Mantığı

Fibonacci dizisi, matematiksel olarak şu şekilde tanımlanabilir:

  • F(0) = 0
  • F(1) = 1
  • F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 1 için)

Bu dizinin başlangıcında iki sayı bulunur: genellikle 0 ve 1. Ardından, dizideki her yeni sayı, önceki iki sayının toplamı olarak hesaplanır. Yani her adımda, bir önceki ve iki önceki sayıyı toplarız. 

İşte bu işlemi adım adım nasıl yapabileceğimizi görelim:

  1. Başlangıç değeri olarak 0 ve 1’i alalım.
    • İlk iki sayı: 0 ve 1.
  2. Bir sonraki sayıyı bulmak için, 0 ile 1’i toplarız:
    • Şimdi sıra şu şekilde: 0, 1, 1.
  3. Sonraki sayıyı bulmak için, son iki sayıyı toplarız:
    • Şimdi sıra şu şekilde: 0, 1, 1, 2.
  4. Son iki sayıyı toplarız:
    • Şimdi sıra şu şekilde: 0, 1, 1, 2, 3.
  5. Son iki sayıyı toplarız:
    • Şimdi sıra şu şekilde: 0, 1, 1, 2, 3, 5.

Bu işlemi devam ettiririz, her seferinde son iki sayıyı toplayarak yeni bir sayı elde ederiz. Bu şekilde dizi şu şekilde devam eder: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

Dizi sonsuza kadar devam eder ve her yeni sayı, kendisinden önceki iki sayının toplamıdır. 

 

Fibonacci Dizisi Örnekleri 

Fibonacci sayıları uygulama açısından, doğada şaşırtıcı derecede sık karşımıza çıkıyor. Çöl sukulentinin açılan yapraklarından, çam kozalaklarına ve ayçiçeği çekirdeklerine kadar. Hatta bazı salyongazların kabuklarına kadar…

Bitkiler

Doğada bu sayıları bitkilerde çok net bir şekilde gözlemleyebiliriz. Örneğin bir muzu bölersen, 3 ayrı bölümü olduğunu görürsün. Bir elmayı ayırırsan 5 bölümü olduğunu görürsün. Çiçeklerde ise 1,1,2,35,8,13 taç yaprağının olduğunu görebilirsin. 

Ayçiçeğinde ve kozalaktaki çekirdeklerin satır sayısı her zaman Fibonacci sayılarını oluşturur. 

Bitkilerimizin bu şekilde büyümesinin sebebi bir çeşit gizemli, mistik bir şey olmaları değil. Böyle gelişiyorlar çünkü küçük bir alana mümkün olduğunca çok çekirdek yerleştirmeleri gerekiyor ve bunun da yolu bu.

 

Bal Arıları

Bal arılarının aile ağacı, özellikle DNA'larını nasıl miras aldıkları, Fibonacci dizisini ve altın oranı yakından takip ettiği söylenir. 🐝

Bal arısı kolonisi bir kraliçe, birkaç erkek arı ve çok sayıda işçi arıdan oluşur. 

Yapılan araştırmalara göre dişi işçi arılar DNA'larının yarısını anne yani kraliçeden, yarısını da babadan alır.

Diğer yandan erkek arılar, döllenmemiş yumurtalardan çıkar. Bu, yalnızca bir ebeveyne sahip oldukları anlamına gelir. Yani erkek arılar DNA'larının tamamını sadece annelerinden alırlar.

Bu nedenle, Fibonacci sayıları bir erkek arının aile ağacını, bir ebeveyni, iki büyük ebeveyni, üç büyük büyük ebeveyni şekilde ifade eder.

 

Fırtınalar

Kasırga ve hortum gibi doğa olayları genellikle Fibonacci dizisini takip eder. Bir dahaki sefere hava durumu radarında sarmal çizen bir kasırga gördüğünde, ekrandaki bulutlardaki belirgin Fibonacci sarmalına bakabilirsin. 🌪️

 

İnsan Vücudu

Aynada kendine baktığında vücudunun çoğu parçasının bir, iki, üç ve beş sayılarını takip ettiğini fark edeceksin. Bir burnun, iki gözün, her uzuvda üç segment ve her elinde beş parmağın var. 

İlginçtir ki, her biri 5 rakamdan oluşan 2 elin ve 8 parmağın da 3 bölümden oluşur.

 

Fibonacci Dizisi ve Altın Oran

Sayıların kendisine çok rastlamamızın yanı sıra, aralarındaki orantıyı da birçok yerde görebiliriz. 

Herhangi bir Fibonacci sayısını dizide kendisinden bir önce gelen sayıya bölerseniz 1.618 diye giden sayılar elde edersiniz. Yunanlılar bunu çok önce keşfetmişler ve ona PHİ adını vermişler. Bugün ise ona altın oran diyoruz. 

Söylenene göre Phi, antik Yunan heykeltraş Phidias tarafından fiziksel mükemmelliği tasvir etmek için kullanıyordu.

Örneğin, heykelin toplam yüksekliği ile ayak tabanından göbeğine olan mesafe arasındaki oran olarak Phi'yi kullandığı söylenir. 

 

Fibonacci Sarmalı

Fibonacci sarmalı, Fibonacci dizisinden türetilen geometrik bir desendir. Fibonacci dizisine göre boyutlandırılmış bir dizi karenin içine bir dizi bağlı çeyrek daire çizilerek oluşturulur.

Sarmal küçük bir kare ile başlar, ardından ilk kareye bitişik daha büyük bir kare gelir. Sonraki kare, önceki iki karenin toplamına göre boyutlandırılır ve bu şekilde devam eder. 

Her çeyrek daire, dizideki bir sonraki kareye mükemmel bir şekilde uyar ve sonsuza kadar dışarı doğru genişleyen bir sarmal desen oluşturur. Fibonacci dizisindeki sayılar ne kadar büyükse, oran altın orana (≈1,618) o kadar yakınlaşır.

Fibonacci dizisinin her iki ardışık teriminin oranını hesaplayalım ve altın oranı nasıl oluşturduklarını beraber görelim.

  • F 2 / F 1 = 1/1 = 1
  • F3 /F2 = 2/1 = 2
  • F4 /F3 = 3/2 = 1,5
  • F 5 / F 4 = 5/3 = 1,667
  • F6 /F5 = 8/5 = 1,6
  • F7 / F6 = 13/8 = 1.625
  • F 8 / F 7 = 21/13 = 1.615
  • F 9 / F 8 = 34/21 = 1.619
  • F 10 / F 9 = 55/34 = 1.617
  • F 11 /F 10 = 89/55 = 1.618 = Altın Oran

 

Fibonacci Dizisi ve Programlama

Fibonacci dizisi, programlamada sıklıkla karşılaşılan bir örüntüdür. Her bir sayının kendisinden önceki iki sayının toplamı olduğu bu diziyi, farklı programlama dillerinde çeşitli şekillerde çözebiliriz.

Fibonacci dizisi genellikle algoritma ve veri yapıları derslerinde öğretilir çünkü bu dizi, hem temel matematiksel kavramları öğretir hem de bazı problem çözme tekniklerini geliştirmeye yardımcı olur.

Örneğin, dizinin hesaplanması sırasındaki optimizasyon teknikleri, algoritmaların verimliliği konusunda önemli dersler sunar.

İÇERİKLER
Konu içeriği

Yazılımcı Maaşlarını Keşfet! Mevcut maaş verilerini inceleyerek, yeni pozisyonunda ideal maaşı bul! Hemen İncele

Önerilen İçerikler

Tüm İçerikler

Açık Etkinlikler

Tüm Etkinlikler
DefineX .NET Bootcamp
DefineX .NET Bootcamp

Bootcamp'e Başvur, DefineX Ekibine Katılma Fırsatı Yakala!

Bootcamp
  • Son Başvuru 16 Şubat
  • Başlangıç 1 Mart
  • Bitiş 23 Mart
Detaylı Bilgi
Cloud & DevOps Day - 2025
Cloud & DevOps Day - 2025

Cloud&DevOps Kariyeri Düşünenler Şirketlerin DevOps&Cloud Ekipleri Bir Araya Geliyor!

Meet-up
  • Son Başvuru 18 Şubat
  • Başlangıç 18 Şubat
  • Bitiş 18 Şubat
Detaylı Bilgi
Yazılım ve Teknoloji Okulu
Yazılım ve Teknoloji Okulu

JAVA, HTML & CSS & JavaScript, iOS, QA, Siber Güvenlik ve Daha Fazlası!

Teknoloji Okulu
  • Son Başvuru 20 Şubat
  • Başlangıç 25 Şubat
  • Bitiş 20 Mart
Detaylı Bilgi
Tüm Etkinlikler

Codecast: Yazılımcı Sohbetleri

Farklı alanlardan konuklarımızın katılımlarıyla gerçekleşen Codecast’te yazılım ve veri bilimi yöneticilerini Podcast serimizde konuk ediyoruz!